| Une propriété de matrice orthogonale | |
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Auteur | Message |
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Onur Agent
Nombre de messages : 7 Date d'inscription : 29/04/2005
| Sujet: Une propriété de matrice orthogonale Jeu 8 Sep - 18:38 | |
| Voici une petite démo qui constitue un bon exercice pour les sup.
Soit une matrice A(i,j) orthogonal. Montrer que (Somme sur i et j de A(i,j) )² <= n²
...
Solution: Considérons un vecteur W rempli de 1 = (1, 1, 1,....1) ( il y a n fois 1 bien sur) Et considérons les vecteurs colonnes de la matrice V1, V2, ..., Vn
Si on fait le produit scalair de V1 et W on obtient:
V1.W = a(1,1) + a(2,1) + .... + a(n,1)
de meme avec V2.W et les autres...
V1.W = a(1,1) + a(2,1) + .... + a(n,1) V2.W = a(1,2) + a(2,2) + .... + a(n,2) V3.W = a(1,3) + a(2,3) + .... + a(n,3)
Vn.W = a(1,n) + a(2,n) + .... + a(n,n)
Ainsi la somme de Somme pour i =1 à n de de Vi.W donne Somme sur i et j de a(i,j) (Désolé si c'est pas clair mais le forum n'est pas prévu pour faire des démos de math apparement, je peux pas mettre des caractères de math.)
On prend donc (V1.W + V2.W + ... + Vn.W)² et on va montrer que c'est inférieur ou égale à n²
on a avec Cauchy-schwartz (V1.W + V2.W + ... + Vn.W)² <= n (|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W|²)
or
|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= N(V1)²N(W)² + .... N(Vn)²N(W)² |V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= N(W)² * (N(V1)² + N(V2)² + ... N(Vn)²) |V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= 1 * (N(V1)² + N(V2)² + ... N(Vn)²) |V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= 1 * (1 + 1 + .... 1) |V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= 1 * n = n
ainsi
(V1.W + V2.W + ... + Vn.W)² <= n² (Somme sur i et j de a(i,j) )² <= n²
Voila. Cet exo permet d'apprendre à bien manipuler les inégalités et constitue une base pour trouver les propriétés qu'on peut décortiquer de certaines matrices.
Bon courage et bonne chance aux concours!!
CELEBI Powered. | |
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ChoumX Directeur adjoint
Nombre de messages : 1635 Age : 40 Localisation : dans ton cul Date d'inscription : 02/05/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Jeu 8 Sep - 18:57 | |
| Tu dépotes, chef !!! | |
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Skydrinker Directeur Général
Nombre de messages : 946 Age : 40 Localisation : Dans ton... non sans dec' entre Sainté, le Charolais et le Mâconnais Date d'inscription : 29/04/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Jeu 8 Sep - 19:26 | |
| Attention Onur, qu'on soit d'accord :
N représente bien une norme, n'est ce pas ?
Par ailleurs j'ai pas très bien compris comment t'avais pu majorer ( et oui la taupe c'est loin déjà...) la norme de W par 1 et celle des Vi aussi ?
Peux tu m'éclairer mon cher ? | |
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ChoumX Directeur adjoint
Nombre de messages : 1635 Age : 40 Localisation : dans ton cul Date d'inscription : 02/05/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Ven 9 Sep - 12:16 | |
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Onur Agent
Nombre de messages : 7 Date d'inscription : 29/04/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Ven 9 Sep - 12:17 | |
| En effet N est une norme et c'est la norme classique d'un vecteur. D'ailleurs N comme Norme, hein? Sinon c'est vrai que N(W)² ca fait n et pas 1. Donc la majoration suivante est trop grossière: |V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= N(V1)²N(W)² + .... N(Vn)²N(W)² il faudrait donc prouver que pour i compris entre 1 et n, |Vi.W|²=1, ce qui est vrai si la matrice est orthonormée et pas seulement orthogonale. Donc je soupçonne un manque de précision dans l'énoncé. S'il y en a qui prouvent la même chose pour une matrice orthogonal, faites moi signe | |
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Skydrinker Directeur Général
Nombre de messages : 946 Age : 40 Localisation : Dans ton... non sans dec' entre Sainté, le Charolais et le Mâconnais Date d'inscription : 29/04/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Ven 9 Sep - 12:36 | |
| Voilà c'est exactement ce que je me disais hier soir, à savoir : ta matrice est-elle pas plutôt orthonormée pour que çà marche ? Comme quoi les grands esprits se rencontrent | |
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ChoumX Directeur adjoint
Nombre de messages : 1635 Age : 40 Localisation : dans ton cul Date d'inscription : 02/05/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Ven 9 Sep - 15:39 | |
| Quand on voit la gueule des grands esprits... | |
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Onur Agent
Nombre de messages : 7 Date d'inscription : 29/04/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Ven 9 Sep - 20:29 | |
| Bon. Matrice orthonormée ne veut pas dire grand chose. A priori c'est la même chose. Par contre il faut prendre non pas W = (1, 1, ...,1) mais W = (1/sqrt(n),1/sqrt(n),...1/sqrt(n))
et là normalement ca marche. Olivier tu nous résume tout ca? On a été un peu perdu avec tout cela. | |
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Zeu Chef de service
Nombre de messages : 618 Age : 40 Localisation : 42, I'm back in booze Date d'inscription : 29/04/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Sam 10 Sep - 12:31 | |
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Skydrinker Directeur Général
Nombre de messages : 946 Age : 40 Localisation : Dans ton... non sans dec' entre Sainté, le Charolais et le Mâconnais Date d'inscription : 29/04/2005
| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale Mar 31 Jan - 19:45 | |
| En même temps c'est normal vu que t'es un gros flan : Et tu sais qu'en matière de flan je m'y connais... surtout en gobage de flanby ! A ce sujet, un p'tit lien vers la fédé officielle: http://www.gobage.com | |
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| Sujet: Re: Une propriété de matrice orthogonale | |
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| Une propriété de matrice orthogonale | |
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