Une propriété de matrice orthogonale

Voici une petite démo qui constitue un bon exercice pour les sup.

Soit une matrice A(i,j) orthogonal. Montrer que (Somme sur i et j de A(i,j) )² <= n²




...

Solution:
Considérons un vecteur W rempli de 1 = (1, 1, 1,....1) ( il y a n fois 1 bien sur)
Et considérons les vecteurs colonnes de la matrice V1, V2, ..., Vn

Si on fait le produit scalair de V1 et W on obtient:

V1.W = a(1,1) + a(2,1) + .... + a(n,1)

de meme avec V2.W et les autres...

V1.W = a(1,1) + a(2,1) + .... + a(n,1)
V2.W = a(1,2) + a(2,2) + .... + a(n,2)
V3.W = a(1,3) + a(2,3) + .... + a(n,3)

Vn.W = a(1,n) + a(2,n) + .... + a(n,n)

Ainsi la somme de Somme pour i =1 à n de de Vi.W donne Somme sur i et j de a(i,j)
(Désolé si c'est pas clair mais le forum n'est pas prévu pour faire des démos de math apparement, je peux pas mettre des caractères de math.)

On prend donc
(V1.W + V2.W + ... + Vn.W)² et on va montrer que c'est inférieur ou égale à n²

on a avec Cauchy-schwartz
(V1.W + V2.W + ... + Vn.W)² <= n (|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W|²)

or

|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= N(V1)²N(W)² + .... N(Vn)²N(W)²
|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= N(W)² * (N(V1)² + N(V2)² + ... N(Vn)²)
|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= 1 * (N(V1)² + N(V2)² + ... N(Vn)²)
|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= 1 * (1 + 1 + .... 1)
|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= 1 * n = n


ainsi

(V1.W + V2.W + ... + Vn.W)² <= n²
(Somme sur i et j de a(i,j) )² <= n²

Voila. Cet exo permet d'apprendre à bien manipuler les inégalités et constitue une base pour trouver les propriétés qu'on peut décortiquer de certaines matrices.

Bon courage et bonne chance aux concours!!

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Tu dépotes, chef !!!

Attention Onur, qu'on soit d'accord :

N représente bien une norme, n'est ce pas ?

Par ailleurs j'ai pas très bien compris comment t'avais pu majorer ( et oui la taupe c'est loin déjà...) la norme de W par 1 et celle des Vi aussi ?

Peux tu m'éclairer mon cher ?

c loin, les sciences....

En effet N est une norme et c'est la norme classique d'un vecteur. D'ailleurs N comme Norme, hein?

Sinon c'est vrai que N(W)² ca fait n et pas 1. Donc la majoration suivante est trop grossière:

|V1.W|² + |V2.W|² + ... |Vn.W| ² <= N(V1)²N(W)² + .... N(Vn)²N(W)²

il faudrait donc prouver que pour i compris entre 1 et n, |Vi.W|²=1, ce qui est vrai si la matrice est orthonormée et pas seulement orthogonale. Donc je soupçonne un manque de précision dans l'énoncé. S'il y en a qui prouvent la même chose pour une matrice orthogonal, faites moi signe

Voilà c'est exactement ce que je me disais hier soir, à savoir : ta matrice est-elle pas plutôt orthonormée pour que çà marche ?

Comme quoi les grands esprits se rencontrent

Quand on voit la gueule des grands esprits...

Bon. Matrice orthonormée ne veut pas dire grand chose. A priori c'est la même chose.
Par contre il faut prendre non pas W = (1, 1, ...,1) mais
W = (1/sqrt(n),1/sqrt(n),...1/sqrt(n))

et là normalement ca marche.
Olivier tu nous résume tout ca? On a été un peu perdu avec tout cela.

En même temps c'est normal vu que t'es un gros flan :


Et tu sais qu'en matière de flan je m'y connais... surtout en gobage de flanby !

A ce sujet, un p'tit lien vers la fédé officielle:
http://www.gobage.com