De l'irrationalité de racine de 2

Une petite preuve mathématiques pour passer le temps:

Démonstration de l'irrationnalité de la racine carrée de 2

Pour cela, raisonnons par l'absurde::

On suppose qu'il existe un élément x = p/q de Q+ ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) .

Dès lors on a : (p/q)² = 2 donc p² = 2 q²


Ainsi avec p² = 2q² on a p² est un multiple de 2 ou encore 2 divise p² par conséquent 2 divise p aussi.


Mais si 2 divise p , il existe donc un entier naturel p' tel que p = 2p' mais alors p² = 4p'² c'est à dire 2q² = 4p'²


on a 2q² = 4p'² par conséquent q² = 2p'² , donc q² est un multiple de 2 ou encore 2 divise q² donc 2 divise q.


2 divise à la fois p et q , ce qui est contradictoire avec l'hypothèse : p et q sont premiers entre eux.


Conclusion :
Il n'existe pas de rationnels positifs dont le carré est 2, donc il n'existe pas non plus de rationnel négatif dont le carré est 2 sinon l'opposé de ce nombre serait un rationnel positif dont le carré serait 2.

Il n'existe pas de rationnel positif dont le carré est 2,

la racine carrée de 2 est irrationnelle.

Aïe, je sens mon brain qui fait des noeuds

Allez, Sky, fais-moi mal, j'ai le cerveau en bouillie ce soir, mais pourquoi 2 divise p² implique que 2 divise p ?

Non choumX là tu me déçois !

p étant entier il est en gros soit pair soit impair, ok ?

si p est pair alors p² est pair aussi, jusque là tu suis baby ?

donc trivialement dans le cas où p est pair, si p² est divisible par 2, p aussi !

Bon mais si p est impair, alors me diras tu ?

Et bien là je te répondrai que tu dois revoir d'urgence tes cours de collège ! ! !

UN ENTIER IMPAIR A POUR CARRE UN ENTIER IMPAIR ! ! !

Là je t'ai fait une Simone mais c'est pour que tu comprennes bien.

Et donc dans le cas où p est impair, p² l'est aussi et donc n'est pas divisible par 2 !

Donc la divisibilité de p² par deux implique nécessairement la divisibilité de p !
cqfd non ?

je crois que là je suis chaud pour l'agreg de maths...

En tout cas, t'es bon pour les cours de rattrapage...
Ai-je honte ? oui, un peu.

les cours de rattrapage ? pour qui pour toi ?